ལིང་ཚེའི་སྒྱུར་རྩིས་ཀྱི་དོན་སྙིང་འཚོལ་སྒྲུབ་བྱེད་པ།

རྩོམ་ཡིག་འདིའི་ནང་དུ་ང་ཚོས་ལིང་ཚེ་ཡི་སྒྱུར་རྩིས་དོན་སྙིང་དེ་ཡང་སྙིང་གང་འདྲ་ཞིག་ཡིན་མིན་ལ་འཚོལ་སྒྲུབ་བྱ་རྒྱུ་ཡིན།

ཐ་སྙད་ཤན་སྦྱར།

ཐིག་གཤིས་མཉམ་བྱ་ཚོ 线性方程组 linear equations
ལིང་ཚེ 矩阵 matrix
ཕྱོགས་ཚད 向量 vector
ཐིག་གཤིས་སྐོར་སྒྲིག 线性组合 linear combinations
འཕྲེད row
གཞུང column

 ལིང་ཚེ་ཞེས་པ་འདིས་ཐག་གཅད་བྱའི་གནད་དོན་གྱི་ཆ་འཕྲིན་གང་མང་མང་ཞིག་འདུས་ནུས་པའི་དབང་གིས་དེ་ནི་ཐིག་གཤིས་ཚབ་རྩིས་ཁྲོད་ཁྱོན་ཡོངས་ནས་སྤྱད་ཆོག་པའི་མཐོ་རིམ་གྱི་ལག་ཆ་ཞིག་ཏུ་གྱུར། ལག་ཆ་དེ་བདེ་བླག་ཏུ་སྤྱོད་འདོད་ན་སྔོན་ལ་ལིང་ཚེ་རང་ཉིད་ཀྱི་གནད་དོན་སྐོར་ལ་གོ་བ་ཟབ་མོ་ཞིག་ལོན་དགོས། གནད་དོན་དེ་ཚོའི་ཁྲོད་དུ་ལིང་ཚེའི་སྒྱུར་རྩིས་ནི་གཙོ་གནད་ཅིག་ཡིན་ལ་དཀའ་གནད་ཅིག་ཀྱང་ཡིན་པས་དེའི་དོན་སྙིང་ལ་ང་ཚོས་ངོས་འཛིན་གཏིང་ཟབ་པོ་ཞིག་ཐོབ་རྒྱུ་ནི་ཤིན་ཏུ་ནས་གལ་ཆེ།

ང་ཚོས་ཐིག་གཤིས་མཉམ་བྱ་ཚོའི་དོན་སྙིང་འཚོལ་སྒྲུབ་བྱེད་པ། ཞེས་པའི་རྩོམ་ཡིག་ཏུ་དམིགས་སུ་བཀར་ནས་ལིང་ཚེ་དང་ཕྱོགས་ཚད་ཀྱི་སྒྱུར་རྩིས་ཞེས་པ་བརྗོད་མེད་རུང་དོན་དངོས་སུ་དེ་མངོན་སུམ་དུ་མཐོང་རྒྱུ་ཡོད། དེ་ནི་འགོ་འཛུགས་ས་ཡག་པོ་རེད་འདུག།

དེ་ཡང་

$$\left\{ \begin{array}{c} x-2y=1\\ 3x+2y=11 \end{array} \right.$$ དང་

$$x\begin{bmatrix}  1 \\ 3\end{bmatrix}+y\begin{bmatrix}  -2 \\ 2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  1 \\ 11\end{bmatrix}$$ དང་

$$\begin{bmatrix}  1&-2 \\ 3&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}  x \\ y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  1 \\ 11\end{bmatrix}$$ བཅས་གསུམ་ནི་ཐིག་གཤིས་མཉམ་བྱ་ཚོ་ཞིག་གི་མཚོན་སྟངས་མི་འདྲ་བ་གསུམ་ཡིན། དེ་ལྟར་ན་དེ་གསུམ་གྱི་གཡོན་ཕྱོགས་གསུམ་ཡང་མཚུངས་པ་ཡིན།

མཚོན་སྟངས་གསུམ་པའི་གཡོན་དུ་ལིང་ཚེ་དང་ཕྱོགས་ཚད་ཀྱི་སྒྱུར་རྩིས་ཐོན་ཡོད་པས་ང་ཚོས་དེ་འཁྱེར་ཏེ་མཚོན་སྟངས་དང་པོ་གཉིས་པ་སོ་སོའི་གཡོན་ཕྱོགས་དང་རེ་རེ་བཞིན་མཚུངས་པར་བྱས་ནས་ལིང་ཚེ་དང་ཕྱོགས་ཚད་ཀྱི་སྒྱུར་རྩིས་དོན་སྙིང་འཚོལ་སྒྲུབ་བྱ་རྒྱུ་ཡིན།

དང་པོ། འཕྲེད་ནས་ལིང་ཚེ་དང་ཕྱོགས་ཚད་ཀྱི་སྒྱུར་རྩིས་ལ་ལྟ་བ།

མཉམ་བྱ་ཚོའི་མཚོན་སྟངས་དང་པོ་ནི་འཕྲེད་ཀྱི་རྣམ་པ་ཡིན། ང་ཚོས་དེ་དང་མཚོན་སྟངས་གསུམ་པའི་གཡོན་ཕྱོགས་གཉིས་མཚུངས་པར་བྱས་ན་གཤམ་གསལ་ལྟར་ $$\begin{bmatrix}  1&-2 \\ 3&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}  x \\ y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  x-2y \\ 3x+2y \end{bmatrix}$$

མིག་གིས་བལྟས་པ་ཙམ་གྱིས་མཐོང་ཐུབ་པར་ལིང་ཚེ་དང་ཕྱོགས་ཚད་བསྒྱུར་ན་འབྲས་བུ་ནི་ཕྱོགས་ཚད་ཡིན། ཞིབ་ཏུ་དཔྱད་ན་གཡས་ཀྱི་སྒྱུར་ཐོབ་ཕྱོགས་ཚད་ཀྱི་རྒྱུ་དང་པོ་ \(x-2y\) ནི་ལིང་ཚེའི་འཕྲེད་ཀྱི་ཕྱོགས་ཚད་དང་པོ་ \(\begin{bmatrix}1&-2\end{bmatrix}\) དང་ཕྱོགས་ཚད་ \(\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\) གཉིས་ལས་གྲུབ་པ་ཞིག་ཡིན། དེ་ཡང་$$\begin{align} \begin{bmatrix} 1&-2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}  x \\ y\end{bmatrix} & = 1\times x+(-2)\times y\\ & = x-2y \end{align}$$ ལྟར་མཚོན་ཆོག་ལ་ཕྱོགས་ཚད་གཉིས་ཀྱི་སྒྱུར་རྩིས་དེར་ང་ཚོས་རྒྱུན་དུ་ཕྱོགས་ཚད་གཉིས་ཀྱི་ཚེག་སྒྱུར་ཟེར། དེ་བཞིན་གཡས་ཀྱི་སྒྱུར་ཐོབ་ཕྱོགས་ཚད་ཀྱི་རྒྱུ་གཉིས་པ་དེ་ཡང་གཤམ་གསལ་ལྟར་ཐོབ་པ་ཡིན། $$\begin{align} \begin{bmatrix} 3&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}  x \\ y\end{bmatrix} & = 3\times x+2\times y \\ & = 3x+2y \end{align}$$

དཔེར་བརྗོད་དང་པོ། $$\begin{align} \begin{bmatrix} 1&-2\\3&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}  3 \\ 1\end{bmatrix} & = \begin{bmatrix}  1\times 3+(-2)\times 1 \\ 3\times 3+2\times 1\end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix}  1 \\ 11\end{bmatrix} \end{align}$$ དང་$$\begin{align} \begin{bmatrix} 1&-2\\3&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}  2 \\ -4\end{bmatrix} & = \begin{bmatrix}  1\times 2+(-2)\times (-4) \\ 3\times 2+2\times (-4)\end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix}  10 \\ -2\end{bmatrix} \end{align}$$ལྟ་བུ།

སྡོམ་ཆུང་།

1. ལིང་ཚེའི་གཞུང་གྲངས་དང་ཕྱོགས་ཚད་ཀྱི་འཕྲེད་གྲངས་མཚུངས་དུས་གཞི་ནས་སྒྱུར་ཆོག། རྒྱུ་མཚན་ནི་ཐེངས་རེར་ལིང་ཚེའི་འཕྲེད་ཅིག་དང་ཕྱོགས་ཚད་ཀྱི་ཁ་གཏད་རྒྱུ་ཕན་ཚུན་བསྒྱུར་ནས་བསྡོམ་དགོས་པས་སོ།

2. དཔེར་བརྗོད་ནང་དུ་ལིང་ཚེར་གཞུང་གྲངས་ 2 དང་ཕྱོགས་ཚད་ལ་འཕྲེད་གྲངས་ 2 ཡོད། དེ་བཞིན་ལིང་ཚེའི་གཞུང་གྲངས་གང་རུང་ n དང་དེར་བསྟུན་ཕྱོགས་ཚད་ཀྱི་འཕྲེད་གྲངས་ n ལྟ་བུར་རིགས་འགྲེ་བའོ།

གཉིས་པ། འཕྲེད་ནས་ལིང་ཚེའི་སྒྱུར་རྩིས་ལ་ལྟ་བ།

དཔེར་བརྗོད་དང་པོར་ང་ཚོས་ལིང་ཚེ་གཅིག་ལ་སྔ་རྗེས་སུ་ཕྱོགས་ཚད་གཉིས་ཀྱིས་བསྒྱུར་བ་ཡིན། གལ་ཏེ་ང་ཚོས་ཕྱོགས་ཚད་དེ་གཉིས་མཉམ་དུ་བཞག་ཅིང་གཡས་ཀྱི་སྒྱུར་ཐོབ་ཕྱོགས་ཚད་དེ་གཉིས་ཀྱང་མཉམ་དུ་བཞག་ཚེ་དཔེར་བརྗོད་དང་པོའི་སྒྱུར་རྩིས་དེ་གཉིས་འདུས་པའི་ཚུལ་དུ་གཤམ་གསལ་ལྟར་འབྲི་ཆོག།$$\begin{bmatrix} 1&-2\\3&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}  3 &2\\ 1&-4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  1&10 \\ 11&-2\end{bmatrix}$$དེ་ལྟར་ལིང་ཚེ་དང་ཕྱོགས་ཚད་ཀྱི་འཕྲེད་ཀྱི་སྒྱུར་རྩིས་ལས་ལིང་ཚེ་དང་ལིང་ཚེའི་འཕྲེད་ཀྱི་སྒྱུར་རྩིས་ཐོབ་པ་བོ།།

སྡོམ་ཆུང་།

1. ལིང་ཚེ་དང་ལིང་ཚེ་སྒྱུར་བ་ནི་ལིང་ཚེ་སྔ་མ་དང་ལིང་ཚེ་ཕྱི་མའི་ཕྱོགས་ཚད་རེ་རེ་བཞིན་བསྒྱུར་ནས་མཉམ་དུ་འདུས་པ་བོ།

2. ལིང་ཚེ་སྔ་མའི་གཞུང་གྲངས་དང་ལིང་ཚེ་ཕྱི་མའི་འཕྲེད་གྲངས་མཚུངས་དུས་གཞི་ནས་སྒྱུར་ཆོག།

3. དཔེར་བརྗོད་ནང་དུ་ལིང་ཚེ་སྔ་མར་གཞུང་གྲངས་ 2 དང་ལིང་ཚེ་ཕྱི་མར་འཕྲེད་གྲངས་ 2 ཡོད། དེ་བཞིན་ལིང་ཚེ་སྔ་མའི་གཞུང་གྲངས་གང་རུང་ n དང་དེར་བསྟུན་ལིང་ཚེ་ཕྱི་མའི་འཕྲེད་གྲངས་ n ལྟ་བུར་རིགས་འགྲེ་ཤེས་པར་བྱའོ།།

གསུམ་པ། གཞུང་ནས་ལིང་ཚེ་དང་ཕྱོགས་ཚད་ཀྱི་སྒྱུར་རྩིས་ལ་ལྟ་བ།

ང་ཚོས་སླར་ཡང་མཉམ་བྱ་ཚོའི་མཚོན་སྟངས་དེ་གསུམ་ལ་བལྟ་བར་བྱ། མཚོན་སྟངས་གཉིས་པ་དེ་ནི་གཞུང་གི་རྣམ་པ་ཡིན། ང་ཚོས་དེ་དང་མཚོན་སྟངས་གསུམ་པའི་གཡོན་ཕྱོགས་གཉིས་མཚུངས་པར་བྱས་ན་གཤམ་གསལ་ལྟར་ $$\begin{bmatrix}  1&-2 \\ 3&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}  x \\ y\end{bmatrix}=x\begin{bmatrix}  1 \\ 3 \end{bmatrix}+y\begin{bmatrix}  -2 \\ 2 \end{bmatrix}$$

དེ་ལྟར་ལིང་ཚེ་དང་ཕྱོགས་ཚད་སྒྱུར་བ་ནི་ཕྱོགས་ཚད་ཀྱི་རྒྱུ་སོ་སོས་ལིང་ཚེའི་གཞུང་ཕྱོགས་ཚད་སོ་སོར་བསྒྱུར་ནས་སྡོམ་པ་ཡིན། སྡོམ་དེ་ལ་རྒྱུན་དུ་ང་ཚོས་གཞུང་ཕྱོགས་ཚད་དེ་ཚོའི་ཐིག་གཤིས་སྐོར་སྒྲིག་ཟེར་གྱི་ཡོད། སྡོམ་དེའི་མཐའ་འབྲས་ནི་ཕྱོགས་ཚད་ཞིག་ཡིན། དེ་ཡང་གཤམ་གསལ་ལྟར་རོ།$$\begin{align} x\begin{bmatrix}  1 \\ 3 \end{bmatrix}+y\begin{bmatrix}  -2 \\ 2 \end{bmatrix} & = \begin{bmatrix}  x \\ 3x \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}  -2y \\ 2y \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix}  x-2y \\ 3x+2y \end{bmatrix} \end{align}$$མཐའ་འབྲས་དེ་ལ་ཞིབ་ཏུ་བལྟས་ན་དེ་ནི་གོང་གི་འཕྲེད་སྒྱུར་ཐབས་ཀྱི་མཐའ་འབྲས་དང་མཚུངས་པ་མཐོང་ཐུབ།

དཔེར་བརྗོད་གཉིས་པ། $$\begin{align} \begin{bmatrix}  1&-2 \\ 3&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}  3 \\ 1\end{bmatrix} & = 3\begin{bmatrix}  1 \\ 3 \end{bmatrix}+1\begin{bmatrix}  -2 \\ 2 \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix}  3 \\ 9 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}  -2 \\ 2 \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix}  1 \\ 11 \end{bmatrix} \end{align}$$ དང་$$\begin{align} \begin{bmatrix}  1&-2 \\ 3&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}  2 \\ -4\end{bmatrix} & = 2\begin{bmatrix}  1 \\ 3 \end{bmatrix}+(-4)\begin{bmatrix}  -2 \\ 2 \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix}  2 \\ 6 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}  8 \\ -8 \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix}  10 \\ -2 \end{bmatrix} \end{align}$$ལྟ་བུ།

སྡོམ་ཆུང་།

1. ལིང་ཚེའི་གཞུང་གྲངས་དང་ཕྱོགས་ཚད་ཀྱི་འཕྲེད་གྲངས་མཚུངས་དུས་གཞི་ནས་སྒྱུར་ཆོག། དེ་ཡང་མཐའ་འབྲས་ཕྱོགས་ཚད་དེ་ནི་ལིང་ཚེའི་གཞུང་ཕྱོགས་ཚད་ཀྱི་ཐིག་གཤིས་སྐོར་སྒྲིག་ཡིན་པས་དེར་གཞུང་ཕྱོགས་ཚད་ཇི་ཙམ་ཡོད་ན་སྒྱུར་བྱེད་འཕུལ་གྲངས་ཡང་དེ་ཙམ་དུ་ཡོད་དགོས་པའི་ཕྱིར།

2. དཔེར་བརྗོད་ནང་དུ་ལིང་ཚེར་གཞུང་གྲངས་ 2 དང་ཕྱོགས་ཚད་ལ་འཕྲེད་གྲངས་ 2 ཡོད། དེ་བཞིན་ལིང་ཚེའི་གཞུང་གྲངས་གང་རུང་ n དང་དེར་བསྟུན་ཕྱོགས་ཚད་ཀྱི་འཕྲེད་གྲངས་ n ལྟ་བུར་རིགས་འགྲེ་ཤེས་པར་བྱའོ།།

བཞི་པ། གཞུང་ནས་ལིང་ཚེའི་སྒྱུར་རྩིས་ལ་ལྟ་བ།

དཔེར་བརྗོད་གཉིས་པར་ང་ཚོས་གཞུང་གི་ལྟ་བའི་ཐད་ནས་ལིང་ཚེ་གཅིག་ལ་སྔ་རྗེས་སུ་ཕྱོགས་ཚད་གཉིས་ཀྱིས་བསྒྱུར་བ་ཡིན། གལ་ཏེ་ང་ཚོས་སྔར་བཞིན་སྒྱུར་རྩིས་དེ་གཉིས་ཀྱི་གཡོན་མཡོན་དང་གཡས་གཡས་མཉམ་དུ་འདུས་ན་གཤམ་གསལ་ལྟར་ཡིན།$$\begin{bmatrix} 1&-2\\3&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}  3 &2\\ 1&-4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  1&10 \\ 11&-2\end{bmatrix}$$དེ་ལྟར་ལིང་ཚེ་དང་ཕྱོགས་ཚད་ཀྱི་གཞུང་གི་སྒྱུར་རྩིས་ལས་ལིང་ཚེ་དང་ལིང་ཚེའི་གཞུང་གི་སྒྱུར་རྩིས་ཐོབ་པ་བོ།།

སྡོམ་ཆུང་།

1. གོང་དུ་འཕྲེད་ཕྱོགས་ནས་ཐོབ་པའི་ལིང་ཚེ་དང་ལིང་ཚེ་སྒྱུར་བའི་སྡོམ་ཆུང་དེ་འདིར་ཡང་ཡོངས་སུ་མཚུངས་པར་སྤྱད་ཆོག།

2. ང་ཚོས་འཕྲེད་གཞུང་ལྟ་བ་གཉིས་ཀྱི་ཐད་ནས་ལིང་ཚེའི་སྒྱུར་རྩིས་ཀྱི་དོན་སྙིང་ལ་གོ་བ་ཟབ་མོ་ཞིག་ལོན་ཐུབ།

3. གོ་བ་ཟབ་མོ་ཞིག་ལོན་པའི་རྨང་གཞིའི་སྟེང་ཁྱེད་ནས་སྒྱུར་ཐབས་གང་རུང་ཞིག་སྤྱད་ནས་ལིང་ཚེ་ཕན་ཚུན་སྒྱུར་ཆོག།

མཇུག་གཏམ།

དོན་དངོས་སུ་ལིང་ཚེ་དང་ཕྱོགས་ཚད་ཀྱི་སྒྱུར་ཐོབ་དང་ལིང་ཚེ་དང་ལིང་ཚེའི་སྒྱུར་ཐོབ་རྩི་རྒྱུ་དེ་ནི་དེ་ཙམ་གྱི་གལ་ཆེ་བ་ཞིག་མིན། ལིང་ཚེས་ཕྱོགས་ཚད་དང་དེ་བཞིན་ལིང་ཚེར་སྒྱུར་བ་ནི་དོན་དངོས་སུ་དེས་ཕྱོགས་ཚད་དེ་དང་ལིང་ཚེ་དེར་འགྱུར་བ་གཏོང་བ་ཡིན། དེ་ནི་ཐིག་གཤིས་ཚབ་རྩིས་ཀྱི་རྩ་བའི་བྱེད་སྟངས་ཤིག་ཡིན་པས་ལིང་ཚེས་དེ་གཉིས་སོ་སོར་ཇི་ལྟར་བྱས་ཏེ་འགྱུར་བ་གཏོང་བའི་གནས་ལུགས་ལ་གོ་བ་གཏིང་ཟབ་མོ་ཞིག་ལོན་རྒྱུ་ནི་ཤིན་ཏུ་ནས་གལ་འགངས་ཆེའོ།།

དཔྱད་གཞིའི་ཡིག་ཆ།

1:  ཐིག་གཤིས་མཉམ་བྱ་ཚོའི་དོན་སྙིང་འཚོལ་སྒྲུབ་བྱེད་པ།

2:  Introduction to Linear Algebra by Gilbert Strang

༢༠༡༥ ལོའི་ཟླ་བ་ ༤ ཚེས་ ༢༡ ཉིན།

ལྷག་པ་ཚེ་རིང་།

བོད་ལྗོངས་སློབ་གྲྭ་ཆེན་མོའི་རྩིས་རིག་ཚན་ཁག

ཆོག་མཆན་མེད་པར་བརྒྱུད་བསྐུར་བྱས་མི་ཆོག » ལིང་ཚེའི་སྒྱུར་རྩིས་ཀྱི་དོན་སྙིང་འཚོལ་སྒྲུབ་བྱེད་པ།
མཉམ་སྤྱོད།:
ཡག་པོ་འདུག(1) གསོལ་རས་གནང་བ།

དཔྱད་མཆན།སྐུབ་སྟེགས་ཟིན་པ།

  • མིང་། (ངེས་པར་དུ་བྲིས་དགོས།)
  • ཡིག་སྒམ། (ངེས་པར་དུ་བྲིས་དགོས།)
  • དྲ་ཚིགས།

རྩོམ་ཡིག་ཡག་པོ་འདུག་བསམ་ན་གསོལ་རས་ཤིག་གནང་རོགས།

支付宝扫一扫打赏

微信扫一扫打赏