དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་དབྱིབས་ལས་བྱུང་བའི་རྟེན་འབྱུང་གྲངས་དྲུག

དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་དབྱིབས་ནི་ཤིན་ཏུ་གལ་ཆེ་ལ་སྤྱོད་སྒོ་ཆེ་བའི་རིས་དབྱིབས་ཤིག་ཡིན།

ཐ་སྙད་ཤན་སྦྱར།

ཟུར་གསུམ་རྟེན་འབྱུང་གྲངས 三角函数 trigfunctions
རྣོ་ཟུར 锐角 acute angle
གཏད་མཐའ 对边 opposite
འཕྲེད་མཐའ 斜边 hypotenuse
མཚེས་མཐའ 邻边 adjacent
དྲང་རྒྱུད 正弦 sine
ལྷག་རྒྱུད 余弦 cosine
དྲང་ཕྲད 正切 tangent

རྟེན་འབྱུང་གྲངས་ sine ཞེས་པ་ནི་དུས་རབས་དྲུག་པའི་སྐབས་ཀྱི་རྒྱ་གར་གྱི་སྐར་རྩིས་སུ་རྟེན་འབྱུང་གྲངས་ jyā དང་ koṭi-jyā ཞེས་ཐོག་མར་བེད་སྤྱད་པ་ཞིག་ཡིན་པ་དང་དེ་ནས་རྗེས་སུ་ལེགས་སྦྱར་ནས་ཨ་རབ་སྐད་ལ་བསྒྱུར་བ་དང་དེ་ནས་ཡང་ལ་ཐིན་སྐད་དུ་བསྒྱུར་བ་ཞིག་རེད་འདུག  sin དང་ cos དང་ tan ལྟར་ཐ་སྙད་དེ་གསུམ་ཐོག་མར་ཡོངས་ཁྱབ་ཏུ་བེད་སྤྱོད་བྱེད་མཁན་ནི་དུས་རབས་ ༡༦ པའི་ཧྥ་རན་སིའི་རྩིས་མཁན་ Albert Girard རེད་འདུག

ང་ཚོས་མཐའ་མང་དབྱིབས་གང་རུང་ཞིག་ཟུར་གསུམ་དབྱིབས་སུ་གཏུབས་ནས་དབྱེ་ཞིབ་བྱས་ཆོག་པ་དང་། ཡང་དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་དབྱིབས་མ་ཡིན་པའི་ཟུར་གསུམ་དབྱིབས་གང་རུང་ཞིག་དེའི་མཐོ་ཡི་ཐད་ནས་དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་དུ་གཏུབས་ནས་དབྱེ་ཞིབ་བྱས་ཆོག དེས་ན་ང་ཚོས་དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་དབྱིབས་ལ་ཞིབ་འཇུག་མཐའ་འཁྱོལ་བ་ཞིག་བྱུང་ན་ད་གཟོད་དབྱིབས་རྩིས་ཀྱི་ཆ་ལ་ངོ་གནོང་མི་དགོས་པ་ཞིག་ཡོང་ཐུབ།

ཟུར་གསུམ་དབྱིབས་ཀྱི་མཐའ་དང་ཟུར་གྱི་རྟེན་འབྱུང་འབྲེལ་བ།

ཉེ་འདྲ་ཟུར་གསུམ་དབྱིབས་ཀྱི་རང་བཞིན་ལས་ཤེས་པར། ཟུར་གསུམ་དབྱིབས་ཤིག་གི་ཆེ་ཆུང་འགྱུར་ཞིང་བཟོ་ལྟ་མི་འགྱུར་བ་ནི་ཉེ་འདྲའི་འགྱུར་བ་ཡིན་པ་དང་། དེ་ནི་མཐའ་གསུམ་པོའི་རིང་ཚད་གཅིག་གྱུར་གྱིས་འགྱུར་བའམ་ཡང་ན་ཟུར་གསུམ་པོ་མི་འགྱུར་བ་དང་ཕན་ཚུན་ཁྱབ་མཉམ་ཡིན། མཐའ་གསུམ་པོ་གཅིག་གྱུར་གྱིས་འགྱུར་བ་ཞེས་པ་ནི་མཐའ་སྔ་མ་གསུམ་དང་མཐའ་ཕྱི་མ་གསུམ་གྱི་ལྟོས་ཟླའི་སྡུར་མཚུངས་པ་ལ་གོ་དགོས།

གལ་ཏེ་ཟུར་གསུམ་དབྱིབས་ཤིག་གི་བཟོ་དབྱིབས་ལ་འགྱུར་བ་བྱུང་ན་དེ་ནི་ཉེ་འདྲའི་འགྱུར་བ་ཞིག་མ་ཡིན། དེ་ནི་མཐའ་གསུམ་པོའི་རིང་ཚད་གཅིག་གྱུར་མ་ཡིན་པར་འགྱུར་བའམ་ཡང་ན་ཟུར་གསུམ་པོ་འགྱུར་བ་དང་ཕན་ཚུན་ཁྱབ་མཉམ་ཡིན། མཐའ་གསུམ་པོ་གཅིག་གྱུར་མ་ཡིན་པར་འགྱུར་བ་ཞེས་པ་ནི་མཐའ་སྔ་མ་གསུམ་དང་མཐའ་ཕྱི་མ་གསུམ་གྱི་ལྟོས་ཟླའི་སྡུར་མི་མཚུངས་པ་ལ་གོ་དགོས།

གོང་གི་འགྱུར་བ་མི་འདྲ་བ་གཉིས་གང་ནས་བལྟས་ཀྱང་ལྟོས་ཟླའི་སྡུར་ནི་ཟུར་གྱི་ཆེ་ཆུང་གི་འགྱུར་བ་ལ་བརྟེན་ནས་འགྱུར་འགྲོ་བ་ཞིག་ཡིན་པ་གསལ་པོ་རེད། དེ་ཡང་ཕན་ཚུན་བར་ལ་རྟེན་འབྱུང་གི་འབྲེལ་བ་ཞིག་གནས་ཡོད། བསམ་བློ་ཞིབ་པར་གཏང་ན་ཟུར་ལ་འགྱུར་བ་མེད་སྐབས་ལྟོས་ཟླའི་སྡུར་ཡང་མི་འགྱུར་ཞིང་ཟུར་ལ་འགྱུར་བ་འགྲོ་སྐབས་ལྟོས་ཟླའི་སྡུར་ཡང་འགྱུར་འགྲོ་བ་ཞིག་ཡིན། དེར་བརྟེན། ལྟོས་ཟླའི་སྡུར་ནི་ཟུར་གྱི་འགྱུར་བ་དང་བསྟུན་ནས་འགྱུར་འགྲོ་བའི་རྟེན་འབྱུང་གྲངས་ཤིག་ཡིན།

ཉེ་འདྲ་དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་དབྱིབས།

གོང་དུ་བཤད་པ་ལྟར་གལ་ཏེ་དམིགས་བསལ་དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་དབྱིབས་ཀྱི་གནད་དོན་ཐག་གཅོད་ཐུབ་ན་ཟུར་གསུམ་དབྱིབས་སྤྱི་ཡོངས་ཀྱི་གནད་དོན་ཡང་ངང་གིས་ཐག་ཆོད་པས། ང་ཚོས་དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་དབྱིབས་ཀྱི་ཟུར་དང་མཐའི་འབྲེལ་བར་དབྱེ་ཞིབ་བྱ་རྒྱུ་ཡིན།

ཉེ་འདྲ་ཟུར་གསུམ་དབྱིབས་གཉིས་ཀྱི་ཟུར་གསུམ་པོ་ཕན་ཚུན་གཉིས་གཉིས་བྱས་ཏེ་མཚུངས་པ་ཡིན། གཞན་ཡང་ཟུར་གསུམ་པོ་བསྡོམས་པས་ 180° ཡིན་པ་ནི་ཟུར་གསུམ་དབྱིབས་ཀྱི་སྤྱིའི་རང་བཞིན་ཞིག་ཡིན། རང་བཞིན་དེ་ང་ཚོའི་ཀླད་པའི་ནང་རྟག་ཏུ་ཡོད་དགོས། ཡང་དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་དབྱིབས་ཀྱི་ངོས་ནས་བཤད་ན་དེའི་ཟུར་གཅིག་དྲང་ཟུར་རམ་ 90°  ཡིན་པས་ཟུར་གཞན་དེ་གཉིས་བསྡོམས་ན་ཡང་ 90° ཡིན། རྒྱུན་དུ་ཟུར་གཞན་དེ་གཉིས་ལ་རྣོ་ཟུར་ཟེར། དེར་བརྟེན། དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་དབྱིབས་གཉིས་ཉེ་འདྲ་ཡིན་པ་དང་དེ་གཉིས་ཀྱི་རྣོ་ཟུར་རེ་རེ་ཕན་ཚུན་མཚུངས་པ་ནི་ཁྱབ་མཉམ་ཡིན། དེ་ལྟར་དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་དབྱིབས་སུ་ཉེ་འདྲའི་གནད་དོན་དེ་བས་ཁ་གསལ་བ་ཞིག་ཡོད།

དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་དབྱིབས་ཀྱི་མཐའི་སྡུར་དང་ཟུར་གྱི་རྟེན་འབྱུང་གྲངས་གསུམ།

དཔེ་རིས་ནང་གི་དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་དབྱིབས་གཉིས་ལས་རྣོ་ཟུར་ B དང་ E གཉིས་མཚུངས་པས་རྣོ་ཟུར་གཞན་གཉིས་ཡང་མཚུངས་པ་ཡིན། དེར་བརྟེན། དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་དབྱིབས་འདི་གཉིས་ནི་ཉེ་འདྲ་ཡིན། ཉེ་འདྲ་ཟུར་གསུམ་དབྱིབས་ཀྱི་རང་བཞིན་ལས་ཤེས་པར། ལྟོས་ཟླའི་མཐའ་ཡི་སྡུར་མཚུངས་པ་ཡིན། དེ་ཡང་

$$\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{EF}$$

དེ་ནི་ལྟོས་ཟླའི་ཟུར་གསུམ་པོ་ཕན་ཚུན་མཚུངས་པ་དང་ཁྱབ་མཉམ་ཡིན་པས། ཟུར་གསུམ་དབྱིབས་གཉིས་ཀྱི་ལྟོས་ཟླའི་མཐའ་གཉིས་ཀྱི་སྡུར་ནི་ཟུར་ལ་རག་ལས་པ་ཞིག་ཡིན།

གལ་ཏེ་ཟུར་གསུམ་དབྱིབས་ཤིག་གི་མཐའ་དང་ཟུར་གསུམ་དབྱིབས་དེ་རང་གི་ཟུར་གྱི་ཆེ་ཆུང་དབར་ལ་འབྲེལ་བ་ཞིག་བཙུགས་ཐུབ་ན་ནི་ཕན་པ་ཤིན་ཏུ་ཆེ། གང་ཡིན་ཟེར་ན་མཐའ་དང་ཟུར་གྱི་རྟེན་འབྱུང་འབྲེལ་བ་དེ་ཉེ་འདྲ་ཟུར་གསུམ་དབྱིབས་ཕན་ཚུན་སྡུར་མི་དགོས་པར་ཐད་ཀར་ཟུར་གསུམ་དབྱིབས་དེ་རང་གི་ནང་དུ་ཐག་གཅོད་ཐུབ་པས་སོ།

གོང་གི་ལྟོས་ཟླའི་མཐའ་ཡི་སྡུར་གསུམ་པོ་མཚུངས་པ་གཉིས་གཉིས་བྱས་ནས་ཁྱབ་མཉམ་རྣམ་པ་གཞན་གསུམ་ཏུ་ཕབ་འགྱུར་བྱས་པ་ལས་ཟུར་གྱི་རྟེན་འབྱུང་གྲངས་དྲུག་འཐོབ་ཐུབ།

རྟེན་འབྱུང་གྲངས་དང་པོ།   \(\sin B \)

\(\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}\)   ལས་  \(\frac{AC}{AB}=\frac{DF}{DE}\)  བྱུང་།

གཡོན་དུ་ནི་ཟུར་གསུམ་དབྱིབས་དང་པོའི་མཐའ་གཉིས་ཀྱི་སྡུར་ཡིན། དེས་ན་ཟུར་གསུམ་དབྱིབས་དང་པོའི་ཟུར་ B ཡི་གཏད་མཐའ་ AC དང་འཕྲེད་ AB ཡི་སྡུར་ \(\frac{AC}{AB}\) དང་རྣོ་ཟུར་ B ཡི་ཆེ་ཆུང་དབར་ལ་རྟེན་འབྱུང་གྲངས་ཀྱི་འབྲེལ་བ་ཞིག་བྱུང་། འབྲེལ་བ་དེ་ང་ཚོས་རྒྱུན་དུ་ \(\sin B=\frac{AC}{AB}\) ལྟར་མཚོན་པར་བྱེད་པ་དང་དེའི་མིང་ལ་ཟུར་ B ཡི་དྲང་རྒྱུད་རྟེན་འབྱུང་གྲངས་ཞེས་ཟེར་གྱི་ཡོད།

གཤམ་གྱི་མཐུད་སྦྲེལ་ནི་འགུལ་རིས་ཤིག་ཡིན། ཁྱེད་ཀྱི་འགུལ་རིས་ནང་གི་ཚེག་ C འདྲུད་ནས་ཉེ་འདྲའི་འགྱུར་བ་གཏོང་སྐབས་ \(\sin C=0.5\) ལ་འགྱུར་བ་མེད་པ་མཐོང་ཐུབ། རྒྱུ་མཚན་ནི་ཟུར་ C ཡི་ཆེ་ཆུང་ལ་འགྱུར་བ་མེད་པས་ཡིན།

http://www.mathopenref.com/common/appletframe.html?applet=trigfunctions&wid=300&ht=200

རྟེན་འབྱུང་གྲངས་གཉིས་པ།   \(\cos B \)

\(\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}\)   ལས་  \(\frac{BC}{AB}=\frac{EF}{DE}\)  བྱུང་།

གཡོན་དུ་ནི་ཟུར་གསུམ་དབྱིབས་དང་པོའི་མཐའ་གཉིས་ཀྱི་སྡུར་ཡིན། དེས་ན་ཟུར་གསུམ་དབྱིབས་དང་པོའི་ཟུར་ B ཡི་མཚེས་མཐའ་ BC དང་འཕྲེད་ AB ཡི་སྡུར་ \(\frac{BC}{AB}\) དང་རྣོ་ཟུར་ B ཡི་ཆེ་ཆུང་དབར་ལ་རྟེན་འབྱུང་གྲངས་ཀྱི་འབྲེལ་བ་ཞིག་བྱུང་། འབྲེལ་བ་དེ་ང་ཚོས་རྒྱུན་དུ་ \(\cos B=\frac{BC}{AB}\) ལྟར་མཚོན་པར་བྱེད་པ་དང་དེའི་མིང་ལ་ཟུར་ B ཡི་ལྷག་རྒྱུད་རྟེན་འབྱུང་གྲངས་ཞེས་ཟེར་གྱི་ཡོད།

གཤམ་གྱི་མཐུད་སྦྲེལ་ནི་འགུལ་རིས་ཤིག་ཡིན། ཁྱེད་ཀྱི་འགུལ་རིས་ནང་གི་ཚེག་གང་རུང་འདྲུད་ནས་ཉེ་འདྲ་མ་ཡིན་པའི་འགྱུར་བ་གཏོང་སྐབས་ \(\sin A\) དང་ \(\cos C \) ལ་འགྱུར་བ་འགྲོ་བ་མཐོང་ཐུབ། རྒྱུ་མཚན་ནི་ཟུར་ A དང་ C ཡི་ཆེ་ཆུང་ལ་འགྱུར་བ་འགྲོ་བས་ཡིན།

http://www.mathopenref.com/common/appletframe.html?applet=trigcosine&wid=600&ht=300

རྟེན་འབྱུང་གྲངས་གསུམ་པ།   \(\tan B \)

\(\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{EF}\)   ལས་  \(\frac{AC}{BC}=\frac{DF}{EF}\)  བྱུང་།

གཡོན་དུ་ནི་ཟུར་གསུམ་དབྱིབས་དང་པོའི་མཐའ་གཉིས་ཀྱི་སྡུར་ཡིན། དེས་ན་ཟུར་གསུམ་དབྱིབས་དང་པོའི་ཟུར་ B ཡི་གཏད་མཐའ་ AC དང་མཚེས་མཐའ་ BC ཡི་སྡུར་ \(\frac{AC}{BC}\) དང་རྣོ་ཟུར་ B ཡི་ཆེ་ཆུང་དབར་ལ་རྟེན་འབྱུང་གྲངས་ཀྱི་འབྲེལ་བ་ཞིག་བྱུང་། འབྲེལ་བ་དེ་ང་ཚོས་རྒྱུན་དུ་ \(\tan B=\frac{AC}{BC}\) ལྟར་མཚོན་པར་བྱེད་པ་དང་དེའི་མིང་ལ་ཟུར་ B ཡི་དྲང་ཕྲད་རྟེན་འབྱུང་གྲངས་ཞེས་ཟེར་གྱི་ཡོད། གསལ་བཤད་བྱ་དགོས་པ་ཞིག་ལ་དེ་སྔོན་དྲང་ཐིག་གི་གསེག་ཕྱོད་སྐབས་སུ་སྡུར་དེ་ལ་གསེག་ཕྱོད་ཟེར་བས་དོན་དངོས་སུ་གསེག་ཕྱོད་དང་ \(\tan B \) ནི་དོན་གཅིག་ཡིན་ནོ།

དཔེར་བརྗོད།   ཟུར་ 35° ཡི་རྟེན་འབྱུང་གྲངས་གསུམ་གྱི་གྲངས་ཐང་རྩི་བ།

sin(35°) = གཏད་མཐའ / འཕྲེད
  = 2.8 / 4.9
  = 0.57…
cos(35°) = མཚེས་མཐའ / འཕྲེད
  = 4.0 / 4.9
  = 0.82…
tan(35°) = གཏད་མཐའ / མཚེས་མཐའ
  = 2.8 / 4.0
  = 0.70…

དཔེར་བརྗོད།   ཟུར་ 30° ཡི་རྟེན་འབྱུང་གྲངས་གསུམ་གྱི་གྲངས་ཐང་རྩི་བ།

ཟུར་ 30° ཡོད་པའི་སྤྱོད་སྒོ་ཆེ་བའི་དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་དབྱིབས་ཤིག་གི་འཕྲེད་ནི 2 དང་གཏད་མཐའ་ནི་ 1 མཚེས་མཐའ་ནི་ √3 བཅས་ཡིན།

30° triangle

ང་ཚོས་མཐའ་གསུམ་ཤེས་པས་ཟུར་གྱི་རྟེན་འབྱུང་གྲངས་གསུམ་པོའི་གྲངས་ཐང་བརྩིས་ཆོག

Sine
  sin(30°) = 1 / 2 = 0.5
Cosine
  cos(30°) = 1.732 / 2 = 0.866…
Tangent
  tan(30°) = 1 / 1.732 = 0.577…

དཔེར་བརྗོད།  ཟུར་ 45° ཡི་ sine, cosine, tangent བཅས་ཀྱི་གྲངས་ཐང་རྩིས།

ཟུར་ 45° ལྡན་པའི་སྤྱོད་སྒོ་ཆེ་བའི་དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་དབྱིབས་ཤིག་གི་མཐའ་གཉིས་ནི་ 1 དང་འཕྲེད་ནི་ √2 བཅས་ཡིན།

45° triangle

 

Sine
sin(45°) = 1 / 1.414 = 0.707…
Cosine
cos(45°) = 1 / 1.414 = 0.707…
Tangent
tan(45°) = 1 / 1 = 1

 

སྡོམ་ཆུང་། དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་དབྱིབས་ཀྱི་མཐའི་སྡུར་ནི་ཟུར་གྱི་ཆེ་ཆུང་འགྱུར་བ་ལ་རྟེན་ནས་འབྱུང་ཞིང་། གོང་གི་སྡུར་མི་འདྲ་བ་གསུམ་ལས་ཟུར་ཞིག་གི་རྟེན་འབྱུང་གྲངས་མི་འདྲ་བ་གསུམ་བྱུང་། དེ་དག་ནི་རྒྱུན་སྤྱོད་ཀྱི་ཟུར་གསུམ་རྟེན་འབྱུང་གྲངས་གསུམ་ཡིན།

དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་དབྱིབས་ཀྱི་མཐའི་སྡུར་དང་ཟུར་གྱི་རྟེན་འབྱུང་གྲངས་གཞན་གསུམ།

ང་ཚོས་སྡུར་དེ་གསུམ་གྱི་བུ་ཆ་དང་མ་ཆ་གཉིས་གོང་འོག་ལྡོག་ནས་བྲིས་ཀྱང་ཆོག དེ་ལྟར་ང་ཚོར་ཡང་ཟུར་ཞིག་གི་རྟེན་འབྱུང་གྲངས་གཞན་གསུམ་འཐོབ་ཐུབ། ཁོ་ཚོ་ནི་གོང་གི་རྟེན་འབྱུང་གསུམ་པོ་དང་གཉིས་གཉིས་ཕན་ཚུན་ལྡོག་པ་ཡིན། གལ་ཏེ་ θ ནི་དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་དབྱིབས་ཤིག་གི་རྣོ་ཟུར་ཞིག་ཡིན་ན་དེའི་རྟེན་འབྱུང་གྲངས་གཞན་གསུམ་ནི།

རྟེན་འབྱུང་གྲངས  Secant
  sec(θ) = འཕྲེད  / མཚེས་མཐའ   = 1/cos(θ)
རྟེན་འབྱུང་གྲངས  Cosecant
  csc(θ) = འཕྲེད  / གཏད་མཐའ   = 1/sin(θ)
རྟེན་འབྱུང་གྲངས  Cotangent
  cot(θ) = མཚེས་མཐའ  / གཏད་མཐའ   = 1/tan(θ)

དཔྱད་གཞི།

https://en.wikipedia.org/wiki/Sine

http://www.mathsisfun.com/sine-cosine-tangent.html

༢༠༡༥ ལོའི་ཟླ་བ་ ༩ པའི་ཚེས་ ༡༤ ཉིན།

ལྷག་པ་ཚེ་རིང་།

བོད་ལྗོངས་སློབ་གྲྭ་ཆེན་མོའི་རྩིས་རིག་ཚན་ཁག

 

ཆོག་མཆན་མེད་པར་བརྒྱུད་བསྐུར་བྱས་མི་ཆོག » དྲང་ཟུར་ཟུར་གསུམ་དབྱིབས་ལས་བྱུང་བའི་རྟེན་འབྱུང་གྲངས་དྲུག
མཉམ་སྤྱོད།:
ཡག་པོ་འདུག(0) གསོལ་རས་གནང་བ།

དཔྱད་མཆན།སྐུབ་སྟེགས་ཟིན་པ།

  • མིང་། (ངེས་པར་དུ་བྲིས་དགོས།)
  • ཡིག་སྒམ། (ངེས་པར་དུ་བྲིས་དགོས།)
  • དྲ་ཚིགས།

རྩོམ་ཡིག་ཡག་པོ་འདུག་བསམ་ན་གསོལ་རས་ཤིག་གནང་རོགས།

支付宝扫一扫打赏

微信扫一扫打赏